在犯罪嫌疑人被捕之后，其关押期限即将到期时，通常会面临以下几种情况及相应的处置办法。
若案件情节复杂，且在规定期限内无法结案，可向上级人民检察院申请并获得许可，以延长其羁押期限。
然而，若在期满之后仍未能完成相关调查工作，则应将犯罪嫌疑人释放或采取其他强制性措施进行调整。
若检察机关判定犯罪事实已基本查清，证据确凿且充足，便应依据法律规定，依法提出公诉请求。
反之，若证据不足，不满足起诉条件，则应做出不起诉的决定。
总而言之，在羁押期限届满之际，必须严格按照法律规定进行处理，确保犯罪嫌疑人的合法权益不受侵犯，同时避免出现超期羁押的现象。
具体的处理方式需结合案件的实际情况以及法律程序进行综合考虑与判断。