在被告人被依法拘留后满三十七日仍未释放之际，亲属或受托律师有权向公安机关咨询案件的推进状况以及当前可能存在的新证据线索或者后续补充调查的需求。
倘若公安机关决定提请上级检察机关进行批准逮捕程序，律师则有权向该院提交关于撤销批准逮捕请求的法律意见，并且详细陈述相关的理据支持。
此外，亲属与律师亦可共同努力，进一步搜集有利于被告人的证据资料，以便为其争取更为有利的司法处理结果。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。