倘若在刑事拘留的期限达到了这重要的37日界限之上，而人民检察院那边却未作出批准逮捕的决定时，那么公安机关就必须在接收到相关通知之后立刻释放当事人，并同时将其自由恢复的具体情形尽快告知人民检察院。
然而，如若人民检察院对该案作出了批准逮捕的决定，那么该案将会继续依照刑事诉讼程序进行。
如果在所处情况中，公安机关认为有必要继续对案件进行深入调查，且当事人具备取保候审或监视居住的条件，那么他们便应依法为当事人采取相应的措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。