在司法实践中，刑事拘留后，通常情况下公安部门会在拘留之日起的第三个工作日向当地人民检察院提交申请，请求对犯罪嫌疑人进行审查和批准逮捕。
然而，在特定情形下，如重大复杂案件中的流串犯、多次作案者以及团伙作案之人，其审查和批准逮捕日期可适当延长，最长为四天。
至于公安部门向人民检察院提出的申请，审查期限定为七日。
在此期间内，人民检察院应作出相应决定，要么批准逮捕，要么不予批准。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。