在处理交通肇事罪的刑事拘留流程方面，警方应遵循以下规定：
首先，需要由两名及以上的警察持拘留证，该拘留证必须由县级以上公安机关的主要负责人签署并盖章；
其次，对嫌疑人进行拘留之后，应立即将其送往当地的看守所关押，最晚不得超过二十四个小时；
最后，在拘留后的二十四小时内，必须通知被拘留者的家属，但若涉及到妨碍侦查的情况，待相关因素消除后，也应立即告知被拘留者的家属。

《刑事诉讼法》第八十五条
公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。
除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。
有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。
第八十六条
公安机关对被拘留的人，应当在拘留后的二十四小时以内进行讯问。
在发现不应当拘留的时候，必须立即释放，发给释放证明。