在触犯了寻衅滋事罪名并被依法判处刑事拘留的情况中，当事人的拘押期间正常情况下不会超出37个自然日的法定范围。
依据我国现行法律法规，公安机关在对已被拘留的犯罪嫌疑人进行审查时，若认为其有必要被逮捕，应在拘留期限届满后的三日内，向当地人民检察院提交书面申请，请求对该申请进行审查和批准。
在某些特定情形下，如案件涉及到流窜作案、多次作案或结伙作案等复杂因素，公安机关可将提请审查批准的时间适当延长，最多可延长至四个工作日。
而对于那些被认定为重大嫌疑分子的犯罪嫌疑人，公安机关则有权将提请审查批准的时间进一步延长至三十个自然日。
在此之后，人民检察院应在收到公安机关提交的批准逮捕申请书后的七个自然日内，根据实际情况做出是否批准逮捕的最终决定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。