在人民法院确认了犯罪嫌疑人存在刑事拘留的情况之后，通常遵循以下严谨的法律流程进行推进：
首先，由公安机关在实施拘留行为后的24个小时内完成对犯罪嫌疑人的初次讯问工作。
若经调查发现逮捕的理由并不充分或无需采取拘留措施者，则应立即予以释放，并向其发放相应的释放证明文件；
然后，在公安机关对已经实施拘留措施的犯罪嫌疑人进行深入调查之后，若认为他们存在严重的犯罪行为且需要正式逮捕时，应当在拘留期限结束前的三天内向当地人民检察院提交审查批准申请。
在某些特定情况下，如犯罪嫌疑人具有流窜作案、多次作案、结伙作案等重大犯罪嫌疑，公安机关可将提请审查批准的时间适当延长一至四天。
而人民检察院在收到公安机关递交的审查批准逮捕申请书后，应当在七日内做出是否批准逮捕的决定。
若人民检察院未批准逮捕，公安机关应当在接获通知后立即释放犯罪嫌疑人，同时将执行情况及时告知人民检察院。
对于那些需要进一步侦查，但又符合取保候审、监视居住条件的犯罪嫌疑人，公安机关应当依法为其办理相关手续。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十六条
【拘留的期限】公安机关对被拘留的人，应当在拘留后的二十四小时以内进行讯问。在发现不应当拘留的时候，必须立即释放，发给释放证明。