若某位公民因涉嫌参与网络兼职活动而遭受刑事拘留，依照我国《中华人民共和国刑事诉讼法》（以下简称“刑诉法”）第三十四条的规定，自其首次接受侦查机关询问或被采取强制措施之日起，即享有委托辩护律师的权利。
侦查机关有义务向其明确告知这一权利。
若该公民在羁押期间提出委托辩护律师的请求，则人民法院、人民检察院以及公安机关应立即将此请求传达给相应机构。
对于案情较为复杂且可能判处十年有期徒刑以上刑罚的案件，依据刑诉法第一百五十九条的规定，侦查期限可予以适当延长，但需经省级、自治区级及直辖市级人民检察院批准或决定方可实施。
在处理此类案件过程中，必须严格遵守刑诉法所规定的各项程序，其中包括但不仅限于前述两条法规。
若案件确属复杂，确需延长侦查期限，应依法依规进行申请并获得批准。
与此同时，犯罪嫌疑人或被告人皆有权委托辩护律师，以维护自身的合法权益不受侵犯。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条
犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；
在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。被告人有权随时委托辩护人。
侦查机关在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起三日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民法院自受理案件之日起三日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当及时转达其要求。
犯罪嫌疑人、被告人在押的，也可以由其监护人、近亲属代为委托辩护人。
辩护人接受犯罪嫌疑人、被告人委托后，应当及时告知办理案件的机关。