依据《中华人民共和国刑事诉讼法》中第一百六十九条之明文规定，所有需要向司法机关提起诉讼的案件，皆须由当地人民检察院严格履行审查程序并作出最终决断。
因此，当刑事拘留程序在侦查阶段完成时，主导侦查工作的公安机关必须依法将案件相关的资料与证据转交至具备管辖权的人民检察院进行进一步的审查。
而人民检察院在收到公安机关移交的案件资料和证据后，会经过详细的审核和评估，从而最终做出决定是否要向法院提起公诉。
由此可见，负责接收刑事拘留案件材料并对其进行审查起诉工作的人民检察院才是这类案件的最终归属机构。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百六十九条
凡需要提起公诉的案件，一律由人民检察院审查决定。