依据我国现行的《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条的明文规定，若公安机关判定对某个被拘留者采取逮捕措施，应当尽可能地在拘留期结束前的三个工作日内，依法向当地人民检察院提出申请，以审慎核实批准与否。
然而在特殊情形下，该提交申请审核的期限可适当延长至一至四个工作日。
至于那些流窜作案、持续作案以及结成团伙参与犯案的嫌疑人，其提交申请审核的期限还可以进一步人工延长到整整三十个工作日。
人民检察院必须在收到公安机关提交的批准逮捕申请书后的七个工作日之内，做出对该申请批准逮捕或者拒绝批准逮捕的最后决定。
关于偷盗矿物的行为是否构成犯罪，这需要考虑详细的案件情节和相关的法律规定进行精确判断。
若是偷窃矿物的行为涉及犯罪，并且在此之后受到刑事拘留，那么是否会留下案底则主要取决于是否最终被判有罪。
如果经过审批，最终被判有罪，那么就会留下案底。
反之，如果在审批过程中，检察院决定不批准逮捕当事人，那么被拘留者有可能被释放，也就无需留下案底。
因此，被刑事拘留后，是否会留下案底完全取决于随后的法律程序和最后的判决结果。
也就是说，仅仅因为被拘留而没有得到批准逮捕或者判刑的话，通常是不会留下案底的。
相反，如果被判有罪且批准逮捕，那么就会留下案底。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。