依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条明确指出，公安机关在执行拘留时，应当依法立即将被拘捕人员送往羁押于相应看守所中，且起始时间最晚不能超过24个小时。因此，若某人因涉嫌盗窃罪名而遭受拘留，其应首先被送往看守所进行羁押。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条
公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。