根据我国现行《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条明确指出，当公安机关在拘留一名涉嫌犯罪者之后，若他们坚信需要将其逮捕，必须在随后的三日内向当地检察机关提交申请等待审批。然而，在某些特定情形下，这个申请审批期限可依据实际需求适当予以延长，最多可达一日到四日之久。另外，如果涉案人为连续作案或团伙作案的重大嫌疑人，则申请审批的期限还可进一步延长至三十天。在此期间内，检察机关应在接收到公安机关递交的逮捕申请后的七日内，做出是否批准逮捕的最终决定。因此，如果上山打鸟的行为被判定为犯罪行为，那么该犯罪嫌疑人所面临的刑事拘留期限将取决于具体的案件情况。若案件较为简单，且不涉及流窜作案、多次作案、团伙作案等复杂因素，通常情况下，刑事拘留的期限不应超过三日。反之，若案件情况较为复杂，存在上述复杂因素，刑事拘留的期限有可能会延长至三十日。具体的拘留期限需根据案件的具体情况以及公安机关的决策来进行确定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。