在遛狗过程中发生的打人事件，根据实际情形，可能涉嫌构成故意伤害罪或者寻衅滋事罪等严重犯罪行为。对于此类刑事案件，公安机关通常有权对被拘留者进行最长为期37日的审查和审批，然而，最终的拘留期限将取决于案件的具体情况以及调查工作所需时间。在此期间，公安机关将积极展开各项调查取证工作，并有可能依据调查结果向检察机关提出逮捕申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。