在被刑事拘留之后的程序中，侦查机构通常会在被拘留者被羁押满30个自然日后，向人民检察院提交申请以请求批准逮捕。若在此期间内，检察院未能在7个工作日内做出决定，侦查机构则有权将此期限延长1日至4日。因此，在一般的情况下，被刑事拘留者在被拘留约37天后，侦查机构有可能会向检察院提出正式的公诉请求。然而，这并不能保证公诉请求一定会在这个时间段内得到处理，因为具体的处理时间还会受到案件复杂程度、证据搜集等多种因素的影响。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。