根据我国相关法律法规，因涉嫌醉酒驾驶而被司法部门采取刑事拘留措施的人员，其拘留期最长可达37天。这主要是由于依据《中华人民共和国刑事诉讼法》中的规定，公安机关在对犯罪嫌疑人实施拘留后，通常会给予其14天的侦查羁押期限；但若涉及到流窜作案、多次作案或结伙作案等情节严重的重大嫌疑分子，则侦查羁押期限可延长至30天。随后，检察机关将在7日内对该嫌疑人是否应予批捕进行审查并作出决定，因此，总计拘留期限有可能达到37天之久。然而，需要特别强调的是，以上所述仅为一般情况下的拘留期限计算方式，具体的拘留时限仍需根据案件的实际情况来确定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。