被依法采取限制高消费措施者在受到刑事司法拘留以后，根据相关法律规定，其家人通常将具备申请探视的资格。依据《中华人民共和国看守所条例》第十八条之规定，犯罪嫌疑人、被告人的亲属或其所在单位的负责人有权进行探视。然而，由于各地的实际情况以及案件的特殊性，具体的探视规定可能会存在差异，因此，必须严格遵循当地公安机关的具体安排与指引。

《中华人民共和国看守所条例》第十八条
犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人可以向办案机关提出会见申请。看守所应当将申请转交办案机关处理，并告知申请人。刑事诉讼法规定可以会见的，看守所应当安排会见。