关于"在双方互斗之中，某一参与者遭到刑事拘留，如需聘请律师需支付何种金额的代理费"这个问题，我们并不能给出一个明确的答案。这是因为，通常情况下，律师费用的数额会因律师事务所在处理案件时所面临的复杂程度、工作量以及其他相关因素等多方面因素而与委托人进行商议和确定。
此外，由于地域差异以及不同律师的收费标准也存在差异，所以很难给出一个统一的答案。
然而，根据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条规定，自犯罪嫌疑人首次受到侦查机关的讯问或者被采取强制措施之日起，他们便享有了委托辩护人的权利。当辩护人接收到委托之后，他们有义务立即通知负责办理该案件的机关。因此，无论是犯罪嫌疑人本人还是其法定代理人、近亲属都可以委托辩护人，但是具体的律师费用则需要与律师事务所进行详细的商讨和确定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。被告人有权随时委托辩护人。
侦查机关在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起三日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民法院自受理案件之日起三日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当及时转达其要求。
犯罪嫌疑人、被告人在押的，也可以由其监护人、近亲属代为委托辩护人。
辩护人接受犯罪嫌疑人、被告人委托后，应当及时告知办理案件的机关。”