依据我国《刑事诉讼法》第九十一条之明确规定，公安部门对于被拘押者若确信其需逮捕，则应于拘留期后的三日内向人民检察院提交审查批准请求。而在特殊状况下，此申请审查批准的时限可延长至一至四日。针对流窜犯罪、反复犯罪以及团伙犯罪等重大嫌疑分子而言，其审查批准的时限亦可进一步延长至三十日。当人民检察院接收到公安机关递交的审查批准逮捕申请书之后，应在七日内做出批准逮捕抑或不予批准逮捕的决策。
如若人民检察院未予批准逮捕，公安部门须在收到通知书后立即释放相关人员，同时将执行情况详细地通知人民检察院。若需持续侦查，且符合取保候审及监视居住标准，则依法执行取保候审或监视居住措施。依照此项法律条款，刑事拘留半个月的情况或许意味着公安部门已于拘留期后的三日内向人民检察院提交了审查批准逮捕的申请，然而鉴于案件的特殊性质，人民检察院可能需要更长的时间来进行案件审查，因此有可能批准延长拘留期限。倘若人民检察院经审查后决定不予批准逮捕，公安部门应立即释放被拘留人，并将此情况通知人民检察院。若需继续侦查，被拘留人可能会被依法采取取保候审或监视居住措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。”