当犯罪嫌疑人身陷刑事拘留之后，一般会有义务向其家属发出通知。这样做的目的在于保护家属的知情权，以及使他们能够了解到嫌疑人目前所处的状况。
然而需要注意的是，根据相关法律规定，如果通知可能会对案件的调查产生干扰或者阻碍，那么在特定情形之下，可以暂时不进行告知。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条
公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。