关于在执行越境刑事拘留期间，当事人与其亲属间的会面安排，这在很大程度上受制于具体情境与当地法律的具体规定。据我国现行《中华人民共和国刑事诉讼法》所定，犯罪嫌疑人自被剥夺人身自由之日起，便享有在侦查阶段会晤其聘请的律师的权利，然而，通常情况下，他们需待案件移交至检察机关进行审查起诉之后，方能依法行使会见亲友的权益。若嫌疑人最终被判定有罪并处以相应刑罚，其家属则可在判决正式生效之后，依照相关规定进行探访。因此，当事人与其亲属之间能够实现会面的具体时间，往往需要依据案件的推进状况以及法律程序的实际要求而定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十九条
辩护律师可以同在押的犯罪嫌疑人、被告人会见和通信。其他辩护人经人民法院、人民检察院许可，也可以同在押的犯罪嫌疑人、被告人会见和通信。