依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对于因涉嫌组织、领导或参与黑社会性质组织罪以及开设赌场罪等而被依法刑事拘留的麻将店经营者而言，应遵循一定的法定程序进行处理。
首先，我国公安部门将会依法对犯罪嫌疑人展开深入的讯问工作，并在此基础上收集各类必要的证据材料；随后，由案情的复杂程度决定是否向检察机关提出相应的逮捕申请。若犯罪嫌疑人最终得以批准逮捕，则案件将进入紧锣密鼓的侦查阶段，由检察机关负责后续的审查起诉事宜。一旦案件顺利移送至法院，法院将依照法定程序进行公开审理，并根据事实与证据作出公正的判决结果。在这一漫长的司法流程中，犯罪嫌疑人有权委托辩护律师为其提供全面的法律援助服务，以确保自身的合法权益得到充分保障。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十五条
公安机关对已经立案的刑事案件，应当进行侦查，收集、调取犯罪嫌疑人有罪或者无罪、罪轻或者罪重的证据材料。对现行犯或者重大嫌疑分子可以依法先行拘留。