要看投毒者的投毒目的、投毒方式，投毒结果。
如果仅仅是要毒死这只狗，并且不让死狗被人吃了再次中毒，同时这只狗的价值不足1000元，那么就不构成犯罪；
如果狗的是特种狗，如警犬、辑毒犬、救援犬等价值超过2000元以上，就构成破坏公私财物罪；
如果投毒的方式上，虽然是针对狗的，但是可能危及公共安全的，如狗肉被人吃了中毒死亡，毒品流向水井、河流、食物，可能造成不确定的多人中毒死亡，则构成投毒罪。
投放毒害性致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。

《刑法》第一百一十五条
放火、决水、爆炸以及投放毒害性、放射性、传染病病原体等物质或者以其他危险方法致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
过失犯前款罪的，处三年以上七年以下有期徒刑;情节较轻的，处三年以下有期徒刑或者拘役。