对于构成故意伤害罪的教唆罪犯，其所应当承受的刑事责任应当根据其在共同犯罪活动中所起到的具体影响进行判定。
对于任何形式的教唆行为，都必然会被认定为共同犯罪的一部分，因此应当根据他们在整个犯罪过程中所发挥的作用和影响力来确定相应的罪行和刑罚。
若教唆者在共同犯罪中扮演了主导角色，则应将其视为主犯并给予与其地位相匹配的惩罚；
反之，若其在共同犯罪中仅起到了辅助或次要的作用，则应将其视为从犯，并依据相关法律法规对其进行适当的惩处。

《中华人民共和国刑法》第二十九条
【教唆犯】教唆他人犯罪的，应当按照他在共同犯罪中所起的作用处罚。教唆不满十八周岁的人犯罪的，应当从重处罚。
如果被教唆的人没有犯被教唆的罪，对于教唆犯，可以从轻或者减轻处罚。