若一家公司的法定代表人滥用其职务权限，那么他可能需承担民事责任、行政责任乃至刑事责任。
在民法领域内，由他们的行为所导致的企业经济损失，可能需要他们进行相应的赔偿。
而在行政法层面，他们也有可能面临来自相关行政监管机构的惩罚措施。
倘若其行为严重到足以构成犯罪，例如职务侵占罪或挪用资金罪等，那么他们将依法接受刑事追责。

《中华人民共和国民法典》第八十四条
营利法人的控股出资人、实际控制人、董事、监事、高级管理人员不得利用其关联关系损害法人的利益；利用关联关系造成法人损失的，应当承担赔偿责任。