被刑事拘留之后申请取保候审，其所需的司法部门批准权限取决于案件所处的特定诉讼阶段。
在案件的侦查阶段，取保候审的申请通常是由负责案件侦查工作的公安机关进行审批和决定的。
然而，当案件已经被移交至检察院进行审查起诉时，此时的取保候审申请就必须经过检察院的批准才能生效。
关于取保候审的适用条件，主要包括以下几个方面：
首先，犯罪嫌疑人或被告人可能会被判处管制、拘役或者独立适用附加刑的情况；
其次，犯罪嫌疑人或被告人可能会被判处有期徒刑以上刑罚，但是通过实施取保候审措施并不会对社会造成明显的危害性；
再次，犯罪嫌疑人或被告人患有严重疾病、生活无法自理，或者正处于孕期或者哺乳期的妇女，通过实施取保候审措施也不会对社会造成明显的危害性；
最后，在羁押期限即将届满之时，案件仍然没有得到妥善处理，需要采取取保候审措施以确保诉讼程序的顺利推进。
总的来说，刑拘后取保候审的批准权限因案件所处的诉讼阶段不同而有所区别，同时还需满足上述相关适用条件。