在涉及到聚众斗殴案件的刑事诉讼过程中，犯罪嫌犯在被采取刑事拘留措施之后，其有权根据法律规定提交取保候审的申请。
然而，通常情况下，越早提交申请对于最终获得批准愈加有利。
然而，能否成功获得取保候审，还需结合具体的案情以及被告人所具有的社会危害性等多方面因素进行全面评估和考量。
若犯罪行为的情节相对轻微，那么取保候审的可能性便相应增大；
反之，倘若犯罪行为的情节较为恶劣，则取保候审的难度将会随之提高。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。