根据法律规定，若要对涉嫌盗窃罪的犯罪嫌疑人或被告申请取保候审，必须提出有力的证据来证明以下事实：该嫌疑人、被告人在审判过程中可能被判处管制、拘役或独立适用附加刑，或者存在可能被判处有期徒刑以上刑罚的情况，而针对此类情况进行取保候审不会导致社会安全风险的增加。
同时，还需保证犯罪嫌疑人、被告人患有严重疾病、无法独自生活，或者是怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审措施并不会引发社会安全风险。
另外，若羁押期限已经届满但案件仍未审结，亦需要对其采取取保候审措施。
举证内容可以包括医院开具的疾病诊断书、孕妇证明等相关文件。
此外，倘若能够提供充分的证据证明嫌疑人拥有固定居所及稳定收入来源，且平日表现良好，无再犯之虞，这将极大地提高取保候审申请的成功率。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。