关押于看守所期间，申请办理取保候审事宜的具体期限并未有确切规定。
通常而言，如在案件调查阶段，公安机关对涉嫌违法人员实施拘留之后的三日内，需向人民检察院递交审查批捕申请。
若遇特殊情形，则可将申请批准的时间延长至一日至四日不等。
如果涉及跨地区作案、屡次犯案或团伙作案等重大嫌疑者，递交审批的时间则可顺延至三十日。
人民检察院应在接收到公安机关寄送的批捕申请书之日起，七日内作出是否批准逮捕的决策。
倘若人民检察院不予批准逮捕，公安机关应在得到相关通知后立即解扣相关人员，同时告知人民检察院执行情况及处理结果。
对于后续仍需进行进一步深入侦察工作，且具备办理取保候审和监视居住条件的人员，应对其依法变更为相应措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。