在我国现行法律体系下，对于犯罪嫌疑人或被告人，在拘留期限达37日内仍然有申请取保候审的可能性。
取保候审，即提供担保释放，是刑事诉讼过程中的一项强制措施，它主要用于在刑事案件的侦查、起诉以及审判阶段，公安机关、人民检察院以及人民法院等司法机构对那些未经逮捕或已被逮捕，但需更换强制措施的犯罪嫌疑人、被告人进行处理，以防其逃离追捕、逃避起诉与审判。
为了确保他们能够遵守相关规定，司法机关会要求他们提供保证人或者缴纳保证金，同时还需出具保证书，承诺随时接受传唤，并保证不会擅自离开指定地点。
这种方式可以有效地限制他们的人身自由，同时也能暂时解除对他们的羁押状态。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。