在监视居住期间寻求取保候审的手续通常包括以下几个步骤：首先，涉嫌犯罪人员、被告以及法定代理人、近亲或辩护人需以书面形式向负责实施监视居住措施的执法机构提交相应申请。
接下来，当执法机构收到申请书后，将在规定期限内对其进行严格的审核。
审核过程中，主要关注的焦点在于申请者是否满足取保候审的各项条件，例如是否可能被判处管制、拘役或者独立适用附加刑；
或者是否可能被判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审措施不会导致社会危害性等情况。
若审核结果显示申请者符合上述要求，执法机构将会作出准予取保候审的决定，并通知公安机关予以执行。
与此同时，被取保候审的犯罪嫌疑人、被告人必须严格遵守相关规定，例如未经执法机构批准不得擅自离开所居住的市、县等地。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。