在案件进入法庭审理阶段之后，倘若涉嫌违法者或是被告方满足了《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条所规定的取保候审的相关条件，他们便有权向人民法院、人民检察院或者公安机关提交取保候审的申请。这些条件主要包括可能被判处相对较轻刑罚、不会对社会产生重大危害性、身患严重疾病或正处于孕期哺乳期等情况。若经法院、检察院或公安机关审查，认定申请人确实符合取保候审的各项要求，那么他们就有可能会批准实施取保候审的相应措施，并委托公安机关负责具体的执行工作。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。