若家属期望为涉嫌违法犯罪或者被指控犯罪的嫌疑人或者被告人为其本人争取到取保候审的权利，但此项申请遭到相关部门的驳回，那么，他们有权根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的明确规定，向享有司法管辖权的人民法院、人民检察院或者公安机关提交书面申请。在满足该法条所列举的任何一种情况下，例如可能判处的刑期、当事人的身体状况以及羁押期限等因素，都有理由获得取保候审的批准。然而，倘若申请遭到了拒绝，申请人则可向上一级的检察机关或者法院提起申诉，请求对案件进行重新审查，并且在必要的时候，还可以寻求律师的协助，由律师代表他们进行法律辩护和代理工作。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。