根据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第七十九条的明确规定，被取保候审人的最长期限为十二个月。据此，申请取保候审后能够最快解除相关案件的时间应该是从实施该项措施之次日开始，连同这十二个月的时间段一并计算在内。然而值得注意的是，若在此期间内发现不应将当事人追究刑事责任或者取保候审期限已满，应立即终止对其的取保候审。这就意味着，倘若在取保候审期间案件得到妥善处理或无需再进行取保候审，便可提前解除此项措施，而无须等待十二个月的最长期限。因此，取保候审最短解除案件的时间主要取决于案件的具体情况及其发展趋势。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第七十九条
人民法院、人民检察院和公安机关对犯罪嫌疑人、被告人取保候审最长不得超过十二个月，监视居住最长不得超过六个月。
在取保候审、监视居住期间，不得中断对案件的侦查、起诉和审理。对于发现不应当追究刑事责任或者取保候审、监视居住期限届满的，应当及时解除取保候审、监视居住。解除取保候审、监视居住，应当及时通知被取保候审、监视居住人和有关单位。