在刑事拘留期间进行保释程序的过程中，通常须经过以下几个关键步骤：首先是申请阶段，犯罪嫌疑人家属或者法定代理人和辩护律师可以向负责案件审理的公安机关、人民检察院或人民法院递交保释申请；其次是审查环节，接到申请后，相关责任单位需按照《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条所明确规定的标准，对申请人是否满足取保候审的各项条件进行严格审核；紧接着是决定阶段，若经审查确认申请人符合取保候审的条件，则相关部门会做出准予保释的决定；最后是执行与监督阶段，保释决定由公安机关负责具体实施，包括收取保证金或寻找保证人等措施，同时向申请人发放取保候审决定书。在此期间，公安机关还需要对申请人的行为进行严密监控，以确保他们能够严格遵守取保候审的相关法律法规和规定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。