在提出取保候审申请时，被采取强制措施的嫌疑人或被告人可通过如下几种方式提交证据以支持其请求：首先是证明自身并无逃避侦查或司法审判之意愿的证据，例如所拥有的固定住所证明文件、就业状况及时间证明、家庭成员关系证明等；其次是能够证明自身不存在社会危害性因素的证据，例如良好的个人行为记录、无任何犯罪前科的证明文件等；此外，若因患有疾病需接受治疗或者由于其他特殊原因而不适宜拘禁，也可提供相应的医疗证明或相关材料作为佐证；最后，如果有保证人为其提供担保，则还应附上保证人所提供的担保材料，如财产状况证明、保证书等。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。