在一位人士遭受刑事拘留之后，他的亲属或者辩护律师有权提出取保候审的请求。首先，必须向案件负责部门（一般而言是公安机构）递交正式的书面申请，并详细陈述取保候审的原因及依据，例如嫌疑人没有可能实施逃避行为或干扰司法程序等。其次，申请人应提供担保人或者缴纳相应的保证金。作为担保人，应当具备稳定的经济来源以及良好的社会声誉，以确保嫌疑人能够随时接受传唤。最后，案件负责部门将对申请进行全面审查，并根据实际情况作出是否批准取保候审的决定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。