对于涉嫌构成寻衅滋事犯罪行为的当事人，能否申请取保候审，这取决于他们是否满足了中国《刑事诉讼法》所设定的特定条件。
具体来说，倘若该名被告人并无任何逃匿司法调查、审判的倾向，并且其社会危害性较低，亦或是面临诸如患有严重疾病、正值孕期等特殊境遇，那么根据法律程序，法院、检察院或者公安部门有权利根据实际情况作出同意取保候审的决定。
然而请注意，这绝非意味着所有涉及到寻衅滋事罪行的案例均能够达到获得取保候审的标准。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条：人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。