在安平地区发生家长因对教师进行辱骂而触犯刑法被依法拘役之后，如若其具备被取保候审的资格和条件，其家人或辩护律师有权向当地公安部门提交申请。在取保候审程序中，必须满足相关法律规定的不逃避侦查、保护案发现场证据以及停止实施进一步违法行为的要求，同时还需提供合适的担保人或者缴纳相应数额的保证金作为保证。最终，法院将根据实际情况作出是否批准取保候审的裁决。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。