在执行律师为涉嫌犯罪或面临指控的被告方提交取保候审申请事宜时，他们通常遵循以下严谨且有序的操作流程：首先，律师需要对所接手的案件进行深入的研究和全面的分析，以准确评估被告的社会危险程度，并据此来判断是否具有申请取保候审的资格；其次，根据我国《刑事诉讼法》中的相关规定，律师将基于这一基础，针对被告不具社会危害性的特定情况提出详细而充足的辩护意见，并且论述其病残需要治疗、孕期或哺乳期等特殊状况，以此作为支持取保候审申请的有力依据；再次，律师会积极地与负责调查该案件的侦查机构、检察机关或者审判法庭进行有效的沟通，向他们清晰地表达自己的观点，并努力争取他们的理解和认同；最后，若通过口头交流无法达成共识，律师将会提交一份正式的书面取保候审申请书，以确保申请过程的合法性和规范性。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。