提交自首申请后，申请人提出的取保候审请求的批准期限并无明确规定，其主要依据在于特定案件的复杂程度以及司法机关对此类案件进行审核的实际进展。通常而言，公安机关在收到取保候审的书面申请之后，应在七个工作日内给出最终决定。若条件满足且情况紧急，他们将立即着手办理相关的取保手续。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。