在刑事案件的审查起诉阶段，犯罪嫌疑人和被告人均可通过以下方式提交取保候审申请：
首先由当事人本人直接向司法机构递交书面申请；
此外，他们还可以由其法定代理人（如父母、养父母、监护人或承担保护义务的相关单位及组织的代表）、近亲属（包括配偶、子女、长者等直系血亲和同胞兄弟姐妹）以及在侦查阶段已聘请的律师或在审查起诉阶段委托的辩护人代为提出申请。
在侦查阶段，申请人应向负责侦查工作的机关提交申请；而在审查起诉阶段，则需向检察机关提出申请；在审判阶段，则需要向人民法院提交申请。

《刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。