在遭遇保险公司拒绝赔付之时，消费者是否有权主张保险公司支付相应的利息呢？这一问题的答案往往取决于特定案件的事实和情况，并需交由法官予以裁量。
一般来说，仅在保险公司确实存在应支付赔款之责，或者投保方并未严重违反保险合同约定的情况下，消费者才有可能通过法律途径向保险公司追偿利息损失。
倘若保险公司拒绝履行全部或部分的赔付义务，抑或发生延迟赔付的现象，那么受到影响的消费者可考虑聘请律师进行诉讼，并在诉讼过程中提出包含利息在内的赔偿诉求。
然而，在此必须强调的是，利息的实际获得仍然要以法官最终的裁决为准。
另一方面，如果保险公司所作出的拒赔决定具备合理性的基础，即在保险事故中，被保险人所面临的风险程度未能达到保险条款中所设定的理赔标准，那么保险公司便无需支付任何利息，甚至可能连已收取的保费都无法全额退还给消费者。

《中华人民共和国保险法》第十三条投保人提出保险要求，经保险人同意承保，保险合同成立。保险人应当及时向投保人签发保险单或者其他保险凭证。保险单或者其他保险凭证应当载明当事人双方约定的合同内容。当事人也可以约定采用其他书面形式载明合同内容。依法成立的保险合同，自成立时生效。投保人和保险人可以对合同的效力约定附条件或者附期限。第十四条保险合同成立后，投保人按照约定交付保险费，保险人按照约定的时间开始承担保险责任。