当面临保险公司拒绝对其进行赔付的情况时，当事人享有权利在向法院提交诉讼申请时，主张要求保险公司承担相应的利息支付责任。
然而，最终的判决结果取决于法院的自由裁量权。
依照现行法律法规，只有在保险公司具备明确的赔偿义务，并且投保方不存在明显的保险违法行为的前提之下，如果保险公司仍然拒绝赔付、只愿意支付部分款项或者拖延履行赔付义务，此时投保人才可以寻求律师的协助，并提出利息索赔的要求。
另外，如果保险公司拒绝赔付的理由是合理且合法的，也就是说，被保险人所遭受的风险并不符合相关条款所规定的理赔条件，那么保险公司就没有必要支付任何利息，甚至有可能无法退还已经收取的保费。

《保险法》第五十七条规定：投保人对保险公司理赔决定不服的，可以依据保险合同约定或者与保险公司协商解决；
协商不成的，可以申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。