在提起诉讼之后，保险公司是否会继续履行支付义务，这往往取决于所签订的保险合同条款以及个案的特殊情形。普遍而言，若保险责任清晰可辨且具备强制执行力，那么保险公司则可能决定继续承担垫付责任。
然而，一旦诉讼程序正式启动，保险公司很可能选择静待法院作出裁决以明确赔偿责任。
值得注意的是，每一起案件均具有其独特性，因此具体的处理方式建议您向专业律师进行咨询或者参考保险合同中的相关规定。

《机动车交通事故责任强制保险条例》第三十一条
保险公司可以向被保险人赔偿保险金，也可以直接向受害人赔偿保险金。但是，因抢救受伤人员需要保险公司支付或者垫付抢救费用的，保险公司在接到公安机关交通管理部门通知后，经核对应当及时向医疗机构支付或者垫付抢救费用。