关于保险公司拒绝赔偿时能否要求其支付利息，通常情况需要依据具体案例由法官作出裁定。一般而言，仅当保险公司应当承受赔偿责任，或是投保方未有明显违反保险协议规定的行为时，才具备通过法律途径并向保险公司索求利息支付的权利。若是保险公司未能履行其赔付义务，仅支付部分受损金额或是延误赔付，那么您可选择聘请律师发起诉讼并在庭审中主张利息收入的请求。
然而需特别关注，是否能够成功获取利息支付仍将取决于法官最后做出的裁判结果。
此外，若保险公司合理地拒绝了赔偿申请，即被保险人所遭遇的风险事件并不符合保险条款中所约定的理赔条件，保险公司可能会拒绝支付任何利息，甚至可能不会退还已缴纳的保费。总的来说，若您不幸遭遇保险公司拒绝赔偿的情形，建议咨询专业律师以了解自身权益以及可能采取的解决策略，但最终能否成功获取利息支付还需依赖于法律判决的结果。

《中华人民共和国民法典》
第五百八十四条当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定，造成对方损失的，损失赔偿额应当相当于因违约所造成的损失，包括合同履行后可以获得的利益;但是，不得超过违约一方订立合同时预见到或者应当预见到的因违约可能造成的损失。
第五百八十五条当事人可以约定一方违约时应当根据违约情况向对方支付一定数额的违约金，也可以约定因违约产生的损失赔偿额的计算方法。