请求法庭提起诉讼以追求保险公司责任的具体步骤如下所示：
首先，原告应向人民法院呈交全面详细的起诉书以及相关的证据和论据；
其次，人民法院会接纳并审阅原告所提交的各类文件与材料，以便对案件的实质性问题展开进一步的研究和讨论；接着，在经过认真审核后，法院会做出是否受理此案的决定，并启动立案程序；随后，法院会在确定立案日期后的第五个工作日内，将原告的起诉书副本送达给被告，同时也会通知被告在收到起诉书副本后的十五天之内，就原告的指控作出书面回应；紧接着，被告在收到法院送达的起诉书副本之后，必须在规定期限内作出书面回应，阐述自己的立场和观点；
最后，法院将会根据案件的实际情况，安排开庭审理，并在审理过程中积极寻求调解或判决的解决方案。

《民事诉讼法》第一百二十条规定，起诉应当向人民法院递交起诉状，并按照被告人数提出副本。
书写起诉状确有困难的，可以口头起诉，由人民法院记入笔录，并告知对方当事人。