在保险契约出现争议且保险公司明确表示不愿意进行赔付的情况下，被保险人有权采取以下几个法律程序来维护自己的合法权益：
首先是协商解决，被保险人可尝试与保险公司进行友好沟通，以期达成双方都能接受的合理赔偿方案；
其次是仲裁，被保险人可以向保险公司所隶属的仲裁机构提出仲裁申请，仲裁裁决具有强制执行力，能够有效保障被保险人的利益；
最后，若前述两种方式均未能解决问题，被保险人还可以选择向法院提起诉讼，请求法院判定保险公司承担相应的赔偿责任。

《保险法》第五十七条规定：投保人对保险公司理赔决定不服的，可以依据保险合同约定或者与保险公司协商解决；协商不成的，可以申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。