若保险公司拒绝赔付，消费者可选择通过法律途径解决问题，列举此种行为是违反合同约定的，要求保险公司承担起自支付息的责任。
然而，最终能否实现这一诉求，仍需依据法庭的裁决结果而定。在大多数情况下，只有当保险公司有义务进行赔付或者投保方并未出现严重的投保过失的时候，如果保险公司拒绝赔付、仅赔付一部分款项或者迟迟不予赔付，那么消费者就可以寻求律师的帮助，向法院提起诉讼并主张利息赔偿。
此外，如果保险公司拒绝赔付的决定是合理合法的，即被保险人所遭遇的风险并不符合保险条款中的理赔条件，那么保险公司将不会给予任何利息补偿，甚至可能连已经缴纳的保费都无法退还。

《中华人民共和国民事诉讼法》
第二百五十三条被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息。被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行其他义务的，应当支付迟延履行金。