若保险公司拒绝赔偿请求，那么在向法院申请诉讼之时，您或许有权要求保险公司支付自拒绝之日起直至审判结果公布期间所产生的利息费用，然而实际结果取决于法官的判断和裁定。通常来说，只有在保险公司理应承担赔付责任或者投保方并未严重违反相关条款的情况下，保险公司才可能拒绝赔偿、仅支付部分款项或推迟赔付，此时寻求律师帮助并提出利息要求是合法且可行的。另一方面，如果保险公司拒绝赔偿的决定为合理合法，且客户在事故中并不符合理赔条款的规定条件，保险公司可能将无须支付任何利息，甚至已缴保费亦无法退还。

《中华人民共和国民事诉讼法》
第二百五十三条被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息。被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行其他义务的，应当支付迟延履行金。