在遭遇保险公司拒绝赔付的情形下，投保者有权通过向法院提起诉讼，主张由保险公司自行支付相应的利息费用。
然而，最终是否能够实现这一权益，则需待审判法官作出裁决。通常来讲，仅当保险公司原本应当承担赔付责任或者投保方并无任何重大投保过失的情况下，保险公司拒绝赔付、仅支付一部分赔偿款项或延迟支付的行为才构成侵权，此时才有可能寻求律师协助进行起诉并提出利息诉求。
此外，若保险公司拒绝赔付的决定具有充分合理性，且被保险人所发生的风险事故并不符合相关条款规定的理赔条件，那么保险公司将无需支付利息，甚至已经收取的保费亦无法予以退还。

《中华人民共和国民事诉讼法》
第二百五十三条被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息。被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行其他义务的，应当支付迟延履行金。